1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1.1.  Obiectul şi problemele rezistenţei materialelor

Rezistenţa  materialelor  este o disciplină  de cultură tehnică generală, situată între ştiinţele fizico-matematice şi disciplinele de specialitate ale inginerului. Ea este o continuare logică a mecanicii teoretice, o dezvoltare a acesteia prin introducerea în calcule a caracteristicilor mecanice şi elastice ale materialelor .

Rezistenţa materialelor are ca obiect stabilirea metodelor şi procedeelor de calcul ale eforturilor, tensiunilor şi deformaţiilor ce apar în diferite puncte ale elementelor de rezistenţă,  când  asupra  acestora  acţionează  forţe,  precum  şi stabilirea  şi utilizarea relaţiilor dintre eforturi şi dimensiunile secţiunii.

Rezolvarea problemelor   în cadrul rezistenţei materialelor are în vedere următoarele trei aspecte :

I.aspectul static, prin care se stabilesc, pe baza legilor mecanicii, relaţii între forţele exterioare şi eforturi (forţe interioare) şi respectiv relaţii între eforturi şi tensiuni;

II. aspectul geometric, prin care se analizează deformaţiile corpului sub acţiunea sarcinilor;

III. aspectul fizic, prin care se determină pe cale experimentală  relaţiile de legătură (legile) dintre forţe şi deformaţii,  precum şi caracteristicile  mecanico-elastice  ale materialului respectiv.

Rezistenţa materialelor rezolvă următoarele trei categorii de probleme:

a) probleme de verificare, prin care se determină dacă un element de rezistenţă cu anumite   dimensiuni   îndeplineşte   sau  nu,  sub  acţiunea  forţelor,  condiţiile   de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate;

b) probleme  de calcul  a sarcinii  capabile,  prin care, cunoscându-se  materialul  şi caracteristicile  sale  mecanice  şi elastice,  dimensiunile  şi modul  de solicitare  ale elementului de rezistenţă, se determină valoarea sarcinilor pe care le poate suporta.

c) probleme de dimensionare, prin care se stabilesc dimensiunile optime ale pieselor proiectate.

Fiecare  din  aceste  probleme  se  rezolvă  printr-un  calcul  de  rezistenţă.  La  baza calculului de rezistenţă stau două criterii:

I.de bună funcţionare, ceea ce presupune asigurarea la piesa proiectată a:

a) – rezistenţei;

b) – rigidităţii;

c) – stabilităţii.

II. de eficienţă, care urmăreşte ca piesa proiectată să reprezinte soluţia cea mai economică posibilă în privinţa consumului de material şi de manoperă.

Din aceste două criterii se observă întrepătrunderea tehnicului (criteriul unu) cu economicul  (al  doilea  criteriu).  Pentru  ca un calcul  de rezistenţă  să poată  fi considerat corespunzător trebuie ca acesta să îndeplinească simultan cele două criterii.

Primul criteriu presupune:

a)  Fiecare  element  de  rezistenţă   al  unui  ansamblu  trebuie  să  reziste  tuturor solicitărilor ce apar în acesta pe toată durata de exploatare şi de aceea condiţia de rezistenţă se impune prima. În acest scop în Rezistenţa materialelor se învaţă cum să se aleagă materialul corespunzător, forma secţiunii cea mai avantajoasă şi se stabilesc relaţii între secţiunea transversală şi solicitări, în aşa fel ca la solicitările maxime, eforturile care apar în secţiunea respectivului element de rezistenţă să fie inferioară celei ce produce ruperea.

b) Condiţia de rigiditate impune valori limită pe care să le atingă deformaţiile elementelor de rezistenţă ale unui ansamblu în timpul solicitării maxime, în exploatare. De aceea Rezistenţa materialelor stabileşte relaţii între secţiunea transversală a corpului şi deformaţiile ce apar datorită acţiunii forţelor şi ele servesc la     calculul   de   rezistenţă   (verificare,   calculul   capacităţii   de   încărcare   şi dimensionare).  Capacitatea  corpurilor  de  a  avea  deformaţii  mici  sub  acţiunea forţelor se numeşte rigiditate.

c) Condiţia  de stabilitate  impune  menţinerea  formei  iniţiale  de echilibru  stabil al elementului de rezistenţă, sub acţiunea forţelor. De multe ori în practică apar cazuri când  dimensiunile  elementului  de  rezistenţă  satisfac  condiţiile  de  rezistenţă  şi rigiditate  impuse  pentru  solicitarea  maximă,  însă  la  forţe  inferioare  îşi  pierd stabilitatea formei iniţiale de echilibru. Fenomenul se manifestă prin apariţia bruscă a  unei  deformaţii  foarte  mari  care  poate  duce,  adesea,  la  ruperea  respectivului element de rezistenţă şi distrugerea întregii construcţii.

Exemplul clasic de pierderea stabilităţii formei de echilibru este cazul unei bare drepte lungi şi subţiri (zvelte) comprimate.  Pentru forţe mici bara îşi păstrează forma rectilinie. Dacă se măreşte forţa, la o anumită valoare a acesteia, bara se încovoaie brusc, putând să se rupă.  Fenomenul  este  cunoscut  sub  numele  de flambaj  la compresiune  sau  pierderea stabilităţii, iar forţa la care a avut loc fenomenul se numeşte forţă critică de flambaj.

1.2.  Terminologie

Rezistenţa materialelor utilizează noţiuni specifice ale altor discipline cum ar fi matematica, fizica, mecanica, tehnologia materialelor etc, dar şi simboluri şi noţiuni proprii. În ţara noastră sunt o serie de standarde care definesc noţiunile rezistenţei materialelor dintre care menţionăm:

STAS   1963-83            - Rezistenţa materialelor. Terminologie şi simboluri;

STAS   8147-86           - Tensometrie. Terminologie;

SR EN   1002-1: 1994  - Materiale metalice. Încercarea la tracţiune. Partea 1.

SR EN   1002-2 : 1994 – Materiale metalice. Încercarea la tracţiune. Partea 2.

Determinarea caracteristicilor elastice. STAS   10108 / 0,1,3 -78 – Calculul elementelor din oţel.

S-au  amintit  doar  câteva  din  standarde  pentru  a  sublinia  că  terminologia,simbolurile şi noţiunile utilizate în Rezistenţa materialelor sunt reglementate şi utilizarea acestora este obligatorie. Terminologia specifică se va introduce progresiv, pe parcursul cursului şi se va repeta, ceea ce va uşura asimilarea ei.

1.3.  Clasificarea corpurilor în rezistenţa materialelor

Din totalitatea caracteristicilor elementelor de rezistenţă, în Rezistenţa materialelor,  se  reţin  numai  acele  caracteristici  necesare  calculului  de  rezistenţă făcând abstracţie de celelalte. În acest scop corpurile se schematizează în modele matematice ce au anumite caracteristici mecanice şi elastice. Ca urmare, corpurile se vor încadra în următoarele cinci modele: fir, bară, membrană, placă şi bloc. Prin aceste modele Rezistenţa materialelor schematizează, printr-o metodă de calcul, numeroase organe de maşini şi elemente de construcţii şi deci, calculul de rezistenţă are o largă generalizare.

În raport cu geometria lor, corpurile se împart în trei grupe:

a) Corpurile cu fibră medie, cele ce au una din dimensiuni, lungimea,   mult mai mare decât celelalte două, lăţimea şi grosimea. Ele se definesc prin:

- axa longitudinală - ce poate fi dreaptă, curbă, linie frântă, etc.

- secţiunea transversală - ce poate fi constantă sau variabilă în lungul axei longitudinale.

Din această grupă fac parte:

- firele- care pot fi solicitate numai la întindere şi nu opun practic nici o rezistenţă solicitărilor transversale sau de compresiune;

- barele - care rezistă atât la solicitări axiale cât şi transversale.

După destinaţie şi modul de solicitare barele poartă diferite denumiri specifice: tiranţi - când sunt solicitate la întindere, stâlpi - când sunt solicitate  la  compresiune,  grinzi  -  când  sunt  solicitate  la  încovoiere, arbori - când sunt solicitate, în special, la torsiune.

Prin  fibră  medie  sau  axă  se  înţelege  locul  geometric  al  centrelor  de greutate al secţiunilor plane normale, pe axa barei (sau a firului), iar prin secţiune normală, secţiunea plană perpendiculară pe axă.

b) Corpurile cu suprafaţă mediană au una din dimensiuni – grosimea – relativ mică în raport cu celelalte două – lăţimea şi lungimea -. Din această grupă fac parte membranele şi plăcile.

-  Membranele,   ce   au   grosimea   foarte   mică,   nu   rezistă   la  sarcini transversale sau de compresiune ci numai la sarcini de întindere.

- Plăcile, plane sau curbe, pot prelua şi sarcini transversale şi de compresiune.

Exemple de plăci : capace şi pereţi de rezervoare, cupole, planşee, etc. iar de membrane: pînza de cort, membrane amortizoare etc.

c)  Blocuri  sau  corpuri  masive  ,  care  au  dimensiunile  de  acelaşi  ordin  de mărime. Exemple : bilele şi rolele de rulment, blocurile de fundaţii, etc.

Calculele de rezistenţă diferă de la o grupă la alta, ele fiind cele mai simple la fire şi la bare drepte, cresc în complexitate la barele curbe şi cadre, devenind deosebit de complicate la plăci şi blocuri.

Rezistenţa materialelor  prezintă modul de determinare a eforturilor, tensiunilor şi deformaţiilor în cele mai simple şi des utilizate corpuri şi din acest motiv studiul barei drepte, de secţiune constantă sau variabilă, formează baza şi este tratată în cea mai mare parte din curs.

Modelul unei bare drepte (fig. 1.1,a) se schematizează ca în fig. 1.1,b. Astfel, modelul barei conţine axa barei, de lungime L trasată cu linie groasă în figură şi secţiunea  transversală,  dreptunghiulară  în  acest  caz,  de  lăţime  b  şi  înălţime  h.

Sistemul de axe ataşat modelului, este un sistem triortogonal drept cu axa

Ox -axa barei şi sistemul yOz, axele centrale principale ale secţiunii.

În general toate aceste modele se pot numi elemente de rezistenţă. În cele ce urmează, pentru noţiunea generală de element de rezistenţă se va folosi simbolul ER pentru forma singular şi (ER) pentru forma plural.

Fig. 1.1

Un element de rezistenţă poate fi confecţionat din diferite materiale şi cu diferite dimensiuni. Comportarea (ER) la acţiunea sarcinilor depinde atît de dimensiunile şi forma secţiunii transversale, cât şi de anumite caracteristici mecanice şi elastice ale materialului.Rezolvarea problemelor de rezistenţă implică utilizarea atât a dimensiunilor geometrice cât şi modul de încărcare, caracteristicile elastice şi mecanice ale materialului fiecărui ER.

1.4.  Ipoteze de bază ale rezistenţei materialelor

Pentru a putea stabili relaţiile de calcul simple, în Rezistenţa materialelor se folosesc anumite ipoteze referitoare atât la structura materialelor cât şi la comportarea lor sub acţiunea sarcinilor  aplicate. Aceste ipoteze sunt uneori în concordanţă  cu realitatea, iar alteori ele reprezintă simplificări ale fenomenelor  reale, care duc la rezultate verificate experimental şi deci acceptabile pentru scopul rezistenţei materialelor.

Ipotezele de mai jos sunt de bază şi în afară de acestea s-au făcut sau se vor mai face şi alte ipoteze specifice în anumite capitole. Ca primă ipoteză expusă a fost schematizarea corpurilor în fire, bare, membrane, plăci şi blocuri.

Ipotezele de bază ale rezistenţei materialelor sunt :

I. Ipoteza mediului continuu, prin care se admite că materialul ER se consideră un mediu continuu ce ocupă întregul spaţiu delimitat de volumul său. Această ipoteză corespunde satisfăcător materialelor amorfe dar nu corespunde realităţii la cele cristaline.  Ipoteza este necesară intrucât mărimile din rezistenţa  materialelor, cum sunt tensiunile, deplasările, deformaţiile, etc. pot fi scrise ca funcţii continue de punct şi nu ca funcţii discrete specifice pentru fiecare cristal sau particulă, permiţând folosirea calculului şi metodelor analizei matematice .

II. Ipoteza mediului omogen, prin care se admite că materialul ER are în toate punctele din volumul său aceleaşi mărimi fizice . Nici această ipoteză nu concordă în totalitate cu realitatea în special în cazul betonului, lemnului şi chiar al metalelor. Astfel, la metale prin diverse tratamente termice sau mecanice se creează cruste dure şi caracteristici mecanice diferite de ale miezului.

III.  Ipoteza  izotropiei.  Materialele  se  consideră  izotrope  când  au  pe  toate direcţiile aceleaşi caracteristici  elastice E, G şi ν. În caz contrar materialele se consideră  anizotrope.  În  rezistenţa  materialelor,  toate  materialele  se  consideră izotrope.

IV.  Ipoteza  elasticităţii  perfecte.  Dacă  tensiunile  nu  depăşeşc  anumite  valori limită,  materialele  utilizate  de  ingineri  se  consideră  perfect  elastice.  Cea  ce înseamnă că deformaţiile produse de sarcini se anulează odată cu anularea sarcinilor. V.  Ipoteza  proporţionalităţii   între  tensiuni  şi  deformaţii  specifice.  Pentru solicitări în domeniul elastic se consideră că între tensiuni şi deformaţii specifice există o relaţie liniară, adică este valabilă legea lui Hooke.

VI. Ipoteza deplasărilor mici. În afară de unele excepţii, în Rezistenţa materialelor se  consideră  că  deformaţiile  ER  sunt  foarte  mici  în  raport  cu  dimensiunile acestuia. Ipoteza este foarte importantă întrucât ecuaţiile de echilibru static se pot scrie raportând forţele la starea iniţială nedeformată a ER. Tot pe baza acestei ipoteze, în calculele analitice, termenii ce conţin deformaţii specifice sau deplasări la puteri superioare se pot neglija în raport cu termenii la puterea întâi (teoria de ordinul întâi).

VII.  Ipoteza   proporţionalităţii   dintre  deformaţii   specifice   şi  deplasări.   În domeniul elastic se consideră că între deformaţiile specifice şi deplasări există o relaţie liniară. Ipoteza este o consecinţă a ipotezei deformaţiilor mici.

VIII. Ipoteza secţiunilor plane (Bernoulli). Secţiunile plane şi normale pe axa barei rămân plane şi normale şi după deformarea produsă de sarcini. Această ipoteză  se  verifică  experimental  pe  conturul  barelor  şi  se  admite  valabilă  şi  în interiorul acestora.Astfel în cazul barei din figura 1.2-a, supusă la întindere, secţiunea BC se deplasează în B~C~ dar rămâne plană şi normală pe axa barei. La fel pentru bara din figura 1.2-b supusă la încovoiere secţiunea AB se deplasează şi se   roteşte în poziţia B~C~, dar rămâne plană şi normală pe axa barei.

IX. Principiul lui Saint-Venant. Dacă se înlocuiesc forţele care acţionează pe o porţiune mică a ER cu un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static  cu  primul,  noua  distribuţie  a  forţelor  produce  în  locul  de  aplicare diferenţe apreciabile faţă de prima dar rămâne fără efect, sau cu efect neglijabil, la distanţe mari de locul de aplicare a forţelor.

X.        Principiul suprapunerii  efectelor. Prin aplicarea unei sarcini asupra unui ER până la limita prescrisă de proporţionalitate a materialului, eforturile, tensiunile,  deformaţiile  şi deplasările  ce se produc  în ER depind  exclusiv  de mărimea acelei sarcini şi nu sunt influenţate de efectele altor sarcini aplicate anterior sau concomitent. Acest principiu este o consecinţă a legii lui Hooke (deformaţiile sunt proporţionale cu sarcinile) şi a ipotezei deformaţiilor mici ce indică teoria de ordinul întâi.

Fig. 1.2

1.5.   Siguranţa în funcţionare. Coeficienţi de siguranţă.

Rezistenţe admisibile.

În rezolvarea problemelor de rezistenţa materialelor, (ER) dimensionate sau verificate li se pot impune anumite condiţii, care să le asigure o bună funcţionare pe toată durata de utilizare. Aceste condiţii sunt :

a) -condiţii de rezistenţă;

b) -condiţii de rigiditate;

c) -condiţii de stabilitate.

1.5.1.  Condiţii de rezistenţă

Spunem că un ER este corespunzător,  din punct de vedere  al condiţiilor  de rezistenţă,  atunci  când  tensiunile  care  se produc  în acesta,  datorită  sarcinilor,  nu depăşesc  anumite  limite,  stabilite  convenţional,  dar  corelate  cu  caracteristicile mecanice ale materialului din care este confecţionat ER.

Valoarea convenţională aleasă în calcul, pe baza practicii, pentru tensiunea maximă care se poate produce într-o piesă, în condiţii date de material şi de solicitare se numeşte rezistenţă admisibilă.

Ţinând seama de deformaţiile  care se produc, până la rupere, materialele  se împart în două grupe :

-tenace, care se deformează mult înainte de rupere (ex : oţelurile de rezistenţă mică şi mijlocie);

-fragile, care nu se deformează sau se deformează foarte puţin, fără producerea fenomenului de gâtuire înainte de rupere (exemplu : fonta, sticla, otelul de rezistenţă mare, etc.).

Rezistenţa admisibilă poate fi definită în comparaţie cu o stare limită, periculoasă, care trebuie evitată .

La materialele  tenace,  care  au limita  de curgere  σ_c, rezistenţa  admisibilă  se defineşte prin relaţia :

(1.1a)

unde: c_c   este coeficientul de siguranţă faţă de limita de curgere.

Alegând în calcul un coeficient de siguranţă corect, se va evita atingerea limitei de curgere, deci producerea de deformaţii mari, care pot scoate piesa din funcţiune.

La materialele fragile rezistenţa admisibilă se defineşte în funcţie de rezistenţa la

rupere :

(1.1b)

unde: c_r   este coeficientul de siguranţă faţă de rezistenţa la rupere.

Verificările efectuate pe diferite (ER) au arătat care ar trebui să fie valorile cele mai potrivite pentru coeficienţii de siguranţă şi deci şi pentru rezistenţele admisibile. Spre exemplu, dacă ne referim la oţel rezistenţa admisibilă trebuie să fie inferioară nu numai limitei de curgere ci şi limitelor de elasticitate şi proporţionalitate.

La  alegerea  coeficientului  de  siguranţă  trebuie  să ţinem  seamă  de următorii factori :

a)  Natura  materialului  şi  tehnologia  de  fabricaţie.  Fiecare  material  are anumite caracteristici mecanice care determină rezistenţa admisibilă. Coeficientul de siguranţă este cu atât mai mare cu cât materialul este mai neomogen. Astfel, pentru fontă coeficientul de siguranţă este mai mare decât pentru oţel, la beton, lemn, coeficientul de siguranţă este mai mare decât la metale. Structura neuniformă  a materialului,  existenţa crustelor de turnare, forjare,  laminare  sunt  factori  tehnologici  care  au  efect  negativ  asupra rezistenţei admisibile şi deci vom lua în calcul un coeficient de siguranţă mai mare.

b)     Felul   solicitării.   Prin   efectuarea   de   încercări   mecanice   (întindere, compresiune,  încovoiere,  etc.) s-a constatat  că materialele  au caracteristici mecanice diferite în funcţie de modul de solicitare. Unele materiale au totuşi rezistenţe admisibile egale pentru diferite solicitări de exemplu, oţelul pentru întindere, compresiune, încovoiere .

c) Modul de acţiune a sarcinilor în timp. La solicitări ale ER cu sarcini statice coeficientul de siguranţă este mai mic decât la sarcini variabile în timp sau la sarcini aplicate cu şoc. S-a constatat experimental că un material cu rezistenţa de rupere σr , supus unor solicitări variabile în timp se rupe la valori σmax

inferioare   lui   σr.  Acestui   fenomen   i  s-a   dat   numele   de   oboseală   a

materialului.  Valoarea limită superioară a lui σmax la care materialul rezistă la un număr foarte mare de cicluri (ex. 5 ⋅  107..108  cicluri) fără a se rupe se numeşte rezistenţă la oboseală.

d) Modul de evaluare a sarcinilor şi de realizare a ipotezelor de calcul.  Cu cât sarcinile sunt mai incert evaluate, cu cât ipotezele şi schemele de calcul au un grad mai mare de aproximare, cu atât rezistenţele admisibile trebuie să fie mai mici şi coeficienţii de siguranţă mai mari.

e) Durata de folosire a piesei. Pentru piese cu durată scurtă de funcţionare, se pot lua coeficienţi de siguranţă mai mici, deci rezistenţe admisibile mai mari.

f)     Temperatura.   Temperaturile   înalte   sau   scăzute   influenţează   negativ rezistenţele admisibile. Pentru (ER) importante care vor lucra la temperaturi ridicate sau joase, rezistenţa admisibilă se alege în funcţie de caracteristicile mecanice la temperatura respectivă.

1.5.2.  Condiţii de rigiditate

Funcţionarea  unor  piese  este  posibilă  numai  atunci  când deformaţiile  lor nu depăşesc anumite limite. Ca exemplu: un arbore ce are deformaţii mari la încovoiere provoacă o uzură prematură a lagărelor. Din această cauză în calculul de rezistenţă se impun anumite limite pentru mărimea deformaţiilor  şi se spune că ER trebuie să răspundă unor anumite condiţii de rigiditate date.

1.5.3.  Condiţii de stabilitate

La   problemele   de   stabilitate   elastică,   deşi   condiţiile   de   rezistenţă   sunt satisfăcute,  la anumite  valori  ale  sarcinilor,  numite  valori  critice,  piesele  îşi  pot pierde  echilibrul  stabil,  fapt  ce  duce  la  distrugerea  lor.  Aceste  (ER)  trebuie  să satisfacă  condiţiile  de  stabilitate,  adică  sarcinile  aplicate  să  fie  inferioare  celor critice.

Se dau câteva valori orientative ale rezistenţelor admisibile în anexa 1. Din acest tabel se observă că rezistenţele admisibile la încovoiere sunt de obicei cu 10-20% superioare celor de tracţiune, pe când cele de la forfecare şi răsucire sunt 60-80% din cele  de  tracţiune.  O  excepţie  de  la  această  regulă  face  fonta,  ce  are  rezistenţe admisibile la compresiune de 2…5 ori mai mari decât la tracţiune.